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賭徒迷信的是運氣，賭場相信的是數(shù)學(xué)。

”

引

2021年，又到年終，再提示一下：別去賭，你不是賭王。

賭王何鴻燊接手葡京賭場時，生意蒸蒸日上，但理性的賭王仍然忐忑，請教“賭圣”葉漢：

“如果這些賭客總是輸，長此以往，他們不來了怎么辦？”

葉漢笑道：

“一次賭徒，一世賭徒，他們擔心的是賭場不在怎么辦。”

葉漢說的只是心理層面，現(xiàn)代賭場程序方面的設(shè)計比葉漢當年要縝密得多，賭場集中了概率學(xué)、統(tǒng)計學(xué)的數(shù)學(xué)知識。一個普通賭徒，只要長久賭下去，最終一定會血本無歸。所謂的各種致勝絕技，除了《賭圣》電影里的周星星，現(xiàn)實世界里的周星馳都不信。

一個癡迷于發(fā)財夢的賭徒永遠不明白，與自己對賭的不是運氣，也不是莊家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的數(shù)學(xué)大師，贏的概率能有多大？

01

看得到的是概率

看不見的是陷阱

先說一個最簡單的賭博游戲：拋硬幣。

規(guī)則是這樣的，正面贏反面輸，如果你贏了可以拿走和本金一樣多的獎金，如果輸了則會賠掉本金。

你一聽可能覺得這游戲還不錯，公平！

于是你拿出了身上的100元來玩這個游戲，每次下注5元，這樣你至少有20次的下注機會。

不過，你運氣不太好，第一把就是反面，輸了5塊錢。

生性樂觀的你覺得沒什么，反正不管怎么說，贏面都有50%，下一把就可以贏回來。

結(jié)果，很快你就把身上的錢都輸光了。

你百思不得其解，明明是公平的50%贏面，在50%概率下至少不會虧本的，可為什么最后會輸光？

事實上，你以為自己看到了50%的概率，把游戲看得透徹明白，殊不知，你看到了概率，卻沒有看到背后的陷阱，一腳踏進了一個叫做“賭徒謬論”的坑里。

你覺得游戲是公平的，一正一反，均為50%概率，按照大數(shù)定律來說，這是必然規(guī)律。然而，你有沒有想過，正是這種你以為的“公平”，讓你誤解了大數(shù)定律，才陷入了“賭徒謬論”里呢？

先來看看這種讓你覺得“公平”的大數(shù)定律究竟是什么。

它是數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出的：

假設(shè)n是N次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是每一次試驗中A發(fā)生的概率，那么，當N趨于無窮時，有

式中n表示發(fā)生次數(shù)，N表示試驗總次數(shù)。

也就是說，大量重復(fù)的隨機現(xiàn)象里其實藏著某種必然規(guī)律。

還是以拋硬幣為例，當投擲次數(shù)足夠大時，出現(xiàn)正（反）面的頻率將逐漸接近于1/2，且隨著投擲次數(shù)的增加，偏差會越來越小，如下圖。這是最早發(fā)現(xiàn)的大數(shù)定律之一。

擲硬幣頻率分布圖

從表面概率看，這確實是場公平的游戲。但這種公平是有一定條件的。

大數(shù)定律講究“大量重復(fù)的隨機現(xiàn)象”，只有足夠多次試驗才能使得硬幣正反面出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比幾乎等于1/2。可具體多少次才算“足夠多”？才能夠把它用在個人對賭上？

沒有人知道。因為，概率論給出的答案是——無窮大。

誰也不知道無窮大有多大，只知道這是一個令人仰望的數(shù)量?？赏稊S硬幣次數(shù)越少，大數(shù)定律的身影就越模糊，可能10次中5正5反，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反……

現(xiàn)實往往是，在遠未達到“足夠多”次試驗時，你就已經(jīng)輸了個精光了。

你身上有100元結(jié)果如此，你身上有10000元結(jié)果也是如此，就算你身上有100萬元也是如此，因為你永遠不可能有“足夠多”的錢。

“輸贏概率為50%”，這本身就具有很大的誤導(dǎo)性。

在硬幣拋出之前，50%的概率代表的是可能性；

在硬幣拋出之后，50%的概率代表的是結(jié)果的統(tǒng)計平均值，卻并不是實際分布值。

這是你對大數(shù)定律的誤解之一。

把“大數(shù)定律”當“小數(shù)定律”，覺得游戲是無條件“公平”的，正面和反面出現(xiàn)的頻率都為1/2。這種在潛意識里被奉為圭臬的“公平”，緊接著讓你踏入了第二個誤解——“賭徒謬論”。

大數(shù)定律有一個明顯的潛臺詞：

當隨機事件發(fā)生的次數(shù)足夠多時，發(fā)生的頻率便趨近于預(yù)期的概率。

但人們常常錯誤地理解為：隨機意味著均勻。

如果過去一段時間內(nèi)發(fā)生的事件不均勻，大家就會“人工”地從心理上把未來的事情“抹平”。也就是，如果輸了第一把，那下一把的贏面就會更大。

這種你下一把就可以贏回來的強烈錯覺，就是“賭徒謬論”。

當你玩游戲連輸時，你的心底突然冒出一個神秘的聲音，它激動地朝你吶喊：穩(wěn)住，風(fēng)水輪流轉(zhuǎn)，下一把你很有可能就要贏了！

而其實，上一把和下一把之間并沒有任何聯(lián)系。

就好比一個笑話：

在乘坐飛機時帶著一枚炸彈就不會遇上恐怖分子了，因為同一架飛機上有兩枚炸彈的可能性是極小的。

兩者如出一轍，都把“相互獨立事件”誤認為是互相關(guān)聯(lián)的事件。要知道，大數(shù)定律的工作機制，可不是為了刻意平衡前后的數(shù)據(jù)。在這場游戲中，任意兩次事件之間并不會相互產(chǎn)生影響。

賭局是沒有記憶的，哪怕你曾經(jīng)輸了多次，它也不會因此給你更多勝出的機會。

02

只要進了賭場

你就是一個窮鬼

再來說一個簡單的賭博游戲，還是拋硬幣。

這一次你運氣很不錯，第一把你就贏了100元！可把你高興壞了！

但是和前面的個人對賭相比，這次多了一個莊家。

莊家跟你說：

“你看你也贏了這么多，我呢，辛辛苦苦搭個場子，最后什么都沒撈著。要不這樣，你贏了，就給我留下2%當流水，就算是救濟救濟老哥，給捧捧場！”

你想了下，2%也不多，拿去吧！好了，這事就這么定下來了。

然而你做夢都想不到的是：就是這小小的2%，又一次讓你輸?shù)?span id="4oelggt" class="bjh-strong" style="max-width: 100%; font-size: 18px; font-weight: 700;">傾家蕩產(chǎn)！

你同樣百思不得其解，不過是小小的2%抽水，毫不起眼，可為什么在最后，它就成為了莊家賺錢的利器，自己又輸光了？

天真的你，肯定不知道在賭場有一個逃不開的魔咒：賭徒破產(chǎn)困境。

第1把，贏；第2把，贏；第3把……你覺得自己被幸運女神眷顧，一身富貴命。

可早在18世紀初，那群熱愛賭博的概率論數(shù)學(xué)家們，就提出了那個讓賭徒聞風(fēng)喪膽的破產(chǎn)噩夢：

在“公平”的賭博中，任何一個擁有有限賭本的賭徒，只要長期賭下去，必然有一天會輸個精光。

我們來看看，為什么那么多長期賭徒都輸成了窮光蛋？錢都到哪去了？

假如你的小金庫是r，你帶著小金庫和莊家開始了一場追逐多巴胺刺激的賭博游戲，打算贏得s后就離開，每一局你贏得籌碼的概率為p，那你輸光小金庫的概率有多大呢？

我們可以在馬爾科夫鏈、二項分布、遞推公式等的助攻下，列出一組組粗暴的、令人頭皮發(fā)麻的函數(shù)，但也許它們都不如一張二維模擬圖來得直白，如下圖所示。

賭徒破產(chǎn)定理模擬圖-1

賭徒破產(chǎn)定理模擬圖-2

把不同r對應(yīng)的f(r,n)和f(r,s,p)放到同一個圖中進行比較，它形象地揭示了賭徒輸光定理的含義：所謂的“公平”賭博，其實并不公平。

在f(r,n)中，隨著次數(shù)n的增加，賭徒輸光的概率會逐漸增加并趨近于1，并且r越小，這種趨勢越明顯。這說明在公平賭博的情況下，擁有籌碼更少的賭徒會更容易破產(chǎn)。

而在f(r,s,p)中，圖-2則冷峻而無情的話語告訴我們：

如果希望輸光的概率比較小，那么需要每次的贏面p足夠大或者是手里的籌碼r足夠多。

可面前有一位存在感極強的莊家，你真能從他虎口奪食、在贏面和籌碼中賭一把嗎？

答案，顯然是難乎其難的。

第一，沒有一個賭場會讓你的贏面超過50%。

想要每一次的贏面足夠大，除非莊家為你作弊，不隨機，故意讓你贏。

第二，莊家不是賭徒。

莊家的背后是賭場，也就意味著莊家相比于你，擁有“無限財富”。

你的小金庫永遠比不過莊家的賭場錢莊，這也意味著，你比莊家更容易山窮水盡。

當然，也許你可以一擲千金，但賭場卻設(shè)置了最大投注額，這并不是他們好心，想保護你免遭破產(chǎn)，他們只是為了自保才設(shè)計了一道安全屏障，來抵抗“無限財富”帶來的破產(chǎn)威脅。畢竟萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子，一次性砸個幾百億進去，萬一贏了，那賭場老板恐怕真的要哭了。

第三，莊家是“抽水”收入。

忘了拋幣游戲中那毫不起眼的2%了嗎？賭徒贏錢后，莊家會從賭徒手中抽取一定比例的流水傭金。

這樣一來，即使你有一個小金庫足以和莊家慢慢磨，打一場持久戰(zhàn)，但贏得越多，為莊家送去的“抽水”越多。長此以往，你還是輸了，錢都進了莊家的口袋。

最終，莊家賺的錢只跟賭徒下注大小有關(guān)。

這世上，天才終究是少數(shù)，而“賭神”、“賭王”之所以成為普通賭徒難以望其項背的存在，不僅因為他們深諳賭徒心理，也不僅因為他們懂賭場規(guī)則，更因為他們懂得該下注多少。

03

凱利公式

先告訴你怎么下注

在賭場老板的眼里，世界上或許只有兩種人：一種現(xiàn)在是窮鬼，一種未來是窮鬼。

不過賭場老板也會有所忌憚，特別是遇到善用數(shù)學(xué)博弈的高手時。

凱利公式在高級賭徒的世界里大名鼎鼎，是頂級高手常用的數(shù)學(xué)利器。那什么是凱利公式？我們先看一個例子。

一個1賠2（不包括本金）的簡單賭局，扔硬幣下注，假設(shè)賭注為1元，硬幣如果為正面則凈贏2元，如果為反面則輸?shù)?元?，F(xiàn)在你的總資產(chǎn)為100元，每一次的押注都可投入任意金額。

你會怎么賭呢？已知擲硬幣后正反面的概率都為50%，賠率是1賠2（不包括本金），那么這個賭局你只要不斷地下注，再拋開不公平因素的干擾，幾乎就能賺。

因為擲硬幣次數(shù)越多，其正反面出現(xiàn)概率就越會穩(wěn)定在50%，收益2倍，損失卻只是1倍，從數(shù)學(xué)上講那是穩(wěn)賺不賠的賭局。

但實際情況卻可能會有偏差。

如果你是冒險主義者，你可能會想，要玩就玩大的，一次性把100元全押上，幸運的話，一次正面就可以獲得200元，又是一段值得炫耀的賭史?？墒?，如果輸了，得把100元資產(chǎn)拱手獻給對方，你就一無所有。好不容易來趟拉斯維加斯，這肯定不是明策。

如果你是保守主義者，你可能會想，謹慎一些，慢慢來。你每次只下注1元，正面贏2元，反面輸1元。玩了20把突然覺得，對方下注10元一次就贏得20元，自己一次才贏2元、10次才能贏得20元，感覺自己已經(jīng)錯過幾個億而開始后悔！

那到底該以多少比例下注才能獲得最大收益呢？普通賭徒一般一臉茫然，但凱利公式卻能夠告訴我們答案：

每次下注比例為當時總資金的25%，這樣就能獲得最大收益。

讓我們來看看凱利公式的廬山真面目：

式中，各參數(shù)意義為：

f為應(yīng)投注的資本比例；

p為獲勝的概率（拋到硬幣正面的概率）；

q為失敗的概率，即（拋到硬幣反面的概率）；

b為賠率，等于期望盈利÷可能虧損（盈虧比）；

公式上面的分子(bp-q)代表“贏面”，數(shù)學(xué)中叫“期望值”。

什么才是不多不少的賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例，才能長期獲得最高盈利。

回到前面提到的例子中，硬幣拋出正、反面的概率都是50%，所以p、q（獲勝、失敗的概率）都為0.5，而賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元÷1元，賠率就是2，也就是說這個賭局次數(shù)越多，我們收益就越高。

那么如何利用手中的資金來獲得最高收益呢，我們要求的答案是f，也就是

由此，我們根據(jù)凱利公式的計算而得投注比例，每次都拿出當前手中資金的25%來進行下注。設(shè)初始資金為100，硬幣為正面時，收益為投注的2倍，為反面則失去投注金額。在下表中，我們模擬計算了10次賭局的收益情況。

25%投注下10次收益表-1

25%投注下10次收益表-2

圖-1中從先正后反的情況計算了收益，而圖-2則計算了正反分布交錯情況下的收益結(jié)果。

比較兩表，我們最終可以發(fā)現(xiàn)其收益是相等的，硬幣出現(xiàn)正反面的先后順序?qū)τ谧罱K收益的計算結(jié)果并無影響。

而按25%的投注比例進行投注，收益基本呈現(xiàn)穩(wěn)步增長的大趨勢。

但假設(shè)投注比例為100%時，10次當中只要出現(xiàn)任意一次的反面，就會徹底輸光身上的所有錢，直接出局，且每輪反面概率還為50%；

而每次投注1元，即投注比例為1%的時候，10次數(shù)學(xué)上的收益為，這風(fēng)險很小，但收益太低。由此看來，凱利公式才是最大的贏家。

賭場操盤者每一次下注的時候，都會謹記數(shù)學(xué)原則；而作為普通賭徒，除了心中默念“菩薩保佑”外，哪里知道這后面的數(shù)學(xué)知識？

所以，就算你贏得了“財神爺”的支持，也永遠贏不了“凱利公式”。

04

除非100%贏

否則任何時候都不應(yīng)下注

所有的賭場游戲，幾乎都是對賭徒不公平的游戲。

但這種不公平并非是莊家出老千，而是光明正大地依靠數(shù)學(xué)規(guī)則賺取利潤，從某種意義上來講，賭場是最透明公開的場所。

凱利公式不是憑空設(shè)想出來的，這個數(shù)學(xué)模型已經(jīng)在華爾街得到了驗證，除了在賭場被奉為“勝利理論”，同時也被稱為資金管理神器，它是比爾格羅斯等投資大佬的心頭之愛，巴菲特依靠這個公式也獲取了很多收益。

回歸到賭場討論這個公式，根據(jù)公式結(jié)論，期望值為負時，賭徒不具備任何優(yōu)勢，也不應(yīng)下任何賭注。賭博這種游戲，要下負賭注，你不如自己開個賭場當莊家。

的確，世界上有為數(shù)不多的“賭神”，他們當中有信息論的發(fā)明者香農(nóng)，數(shù)學(xué)家愛德華·索普等，他們通過一系列復(fù)雜的計算和艱深的數(shù)學(xué)理論，把某些賭戲的贏率扳回到50%以上，如21點，靠強大的心算能力可以把概率拉上去。

但就憑你讀書時上課打瞌睡、輸了只知道倍投翻本的可憐知識，以及九九乘法表的那點算力，還是先老實讀完以下3條準則。

（1）期望值為0時，賭局為公平游戲，這時不應(yīng)下任何賭注。

（2）期望值為負時，賭徒處于劣勢，更不應(yīng)下任何賭注。

（3）期望值為正時，這時按照凱利公式投注賺錢最快，風(fēng)險最小。

其實最終結(jié)論只有一個：

除非100%贏，否則任何時候都別賭上全部身家，即使贏率相對較高也要謹慎。

結(jié)

贏得勝利的唯一法則：不賭

有人可能說，我又不是與賭場對賭，我只要贏了對手就行了?？蔁o論是你還是對方，贏者都是要給賭場“流水”的，賭的時間一長，兩者都是在給賭場打工。

現(xiàn)代賭場自己做莊的可能性很小，他們更依賴數(shù)學(xué)定理來自己獲取利益。對于那些小型賭場還有線上賭場，怎么就確定你的對手不是賭場本身呢？

沒有誰能說服一個墮落的賭徒，因為這是人格的缺陷。如果你還尚且一個具有理性精神的人，就別再迷戀所謂的運氣。

賭徒能夠依靠的是菩薩保佑，而賭場后面的大師是高斯、凱利、伯努利這樣的數(shù)學(xué)大神。你怎么可能贏得了莊家？

論理性，沒有人能比賭場老板更理性。

論數(shù)學(xué)，沒有人能比賭場老板請的專家更精通數(shù)學(xué)。

論賭本，沒有人能比賭場老板的本錢更多。

如果你想真正贏得這場賭局，法則只有一個：不賭。

年底了，重新再提示一下！