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一、引言

對股票、債券、期貨等金融資產(chǎn)的趨勢進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測一直是金融領(lǐng)域極其重要，又極具挑戰(zhàn)的工作。 預(yù)測的困難主要來源于兩個方面：首先，金融領(lǐng)域預(yù)測的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，往往具有高噪聲和高維度等特征。 這些時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特征高度依賴于時(shí)間變量長度，過短的時(shí)間序列，往往不能提取出有效的信息。 其次，預(yù)測模型較難選擇。 傳統(tǒng)計(jì)量模型依賴于人工設(shè)計(jì)特征，不僅主觀性較高，而且模型信息較為單一，不能及時(shí)反映投資者情緒、心理預(yù)期、突發(fā)事件等高度復(fù)雜的信息。

近年來，隨著大數(shù)據(jù)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)性能的提升，人工智能的圖像識別、自然語言處理等技術(shù)改變了一個又一個領(lǐng)域，其中也包括金融市場。 而在眾多人工智能解決方案中，能夠提取數(shù)據(jù)深層特征，過濾時(shí)間序列市場噪聲的深度學(xué)習(xí)方法，成為目前金融市場中炙手可熱的議題。 深度學(xué)習(xí)是機(jī)器學(xué)習(xí)算法的一種，是一種由多層隱藏層構(gòu)成的深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 目前應(yīng)用最廣泛的深度學(xué)習(xí)方法有深度置信神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DBN）、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）和長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（LSTM）三種。 一些學(xué)者對這些深度學(xué)習(xí)方法在金融市場預(yù)測、投資者情緒分析、投資策略改進(jìn)等方面的應(yīng)用進(jìn)行了研究。Xiong et al.（2016）利用Google 國內(nèi)趨勢指數(shù)作為衡量投資者情緒和宏觀經(jīng)濟(jì)因子的變量，建立了S＆P500 的長短期記憶模型，結(jié)果表明基于深度學(xué)習(xí)的預(yù)測方法比傳統(tǒng)計(jì)量回歸模型精度高出至少31%。 Ding et al.（2015）構(gòu)建了結(jié)合張量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的事件驅(qū)動型股票預(yù)測模型，該模型將新聞中的文本信息轉(zhuǎn)換為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入向量，用以預(yù)測事件對股票價(jià)格的短期和長期影響。 基于S＆P500 和個股的實(shí)證結(jié)果表明，相較于普通BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該模型的預(yù)測精度提高了6%。 曾志平等（2017）將難以線性化的復(fù)雜時(shí)序數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為上升、下降和無規(guī)則的三種非結(jié)構(gòu)化曲線，并將此作為深度置信神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DBN）的輸入向量，以此來預(yù)測滬深股市所有股票的收盤價(jià)格。 實(shí)證結(jié)果表明，該模型在2000年至2014年間的決策正確率高達(dá)90.54%。

在金融市場的預(yù)測研究中，股票價(jià)格的波動一直是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題。波動率在資產(chǎn)分配、定價(jià)以及VaR 等風(fēng)險(xiǎn)管理指標(biāo)的計(jì)算中起著核心作用，其預(yù)測結(jié)果對投資組合的構(gòu)建也起到至關(guān)重要的作用。 國內(nèi)外學(xué)者對波動率預(yù)測模型進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)研究，早期對波動率模型的研究由于條件的限制，僅能對低頻波動率進(jìn)行計(jì)算，如Engle（1982）提出的ARCH 模型和Bollerslev（1986）提出改進(jìn)的GARCH 模型，都對金融波動的長記憶性進(jìn)行了很好地刻畫。 近年來，高頻數(shù)據(jù)的可獲得性改變了金融波動率的研究方法。 魏宇和余怒濤（2007）全面探討了各類歷史波動率模型和實(shí)現(xiàn)波動率的構(gòu)建方法，選取上證綜指高頻數(shù)據(jù)，計(jì)算了不同模型下指定波動率的預(yù)測值。 結(jié)果表明，基于ARFIMA 的隨機(jī)波動模型和實(shí)現(xiàn)波動率模型預(yù)測精度最高。 羅嘉雯和陳浪南（2018）將時(shí)變稀疏模型以及多元HAR 模型結(jié)合起來構(gòu)建TVS-MHAR 模型，數(shù)據(jù)選取滬深300 期貨、上證綜指和國債期貨的5 分鐘高頻數(shù)據(jù)，對已實(shí)現(xiàn)波動率進(jìn)行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)TVS-MHAR 模型的短期、中期以及長期預(yù)測精度均最高，投資改善效果最好；TVS-MHAR 模型比固定參數(shù)模型預(yù)測效果更好，高頻數(shù)據(jù)比低頻數(shù)據(jù)預(yù)測能夠獲得更大的投資改善。

目前，基于計(jì)量模型的波動率研究日趨完善，但是將深度學(xué)習(xí)方法運(yùn)用到波動率預(yù)測的研究尚少，且波動率預(yù)測的應(yīng)用多集中在期貨市場，現(xiàn)貨市場的應(yīng)用研究尚存在空白。 綜上所述，本文在以往學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，將深度學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于金融市場預(yù)測，提出一種預(yù)測股指高頻波動率的新思路。 深度學(xué)習(xí)的模型選擇擬合長記憶性時(shí)間序列效果最好的長短期記憶模型，即LSTM 模型。 LSTM 模型相較于RNN、DBN 等其他深度學(xué)習(xí)模型的優(yōu)勢在于它可以通過一種類似于“門”的結(jié)構(gòu)，選擇性地對數(shù)據(jù)進(jìn)行記憶或者遺忘，因此對具有長記憶特征的時(shí)序數(shù)據(jù)擬合效果最好。 當(dāng)前的高頻波動率預(yù)測模型多是針對波動率序列直接建立模型，但是本文借鑒王春峰等（2003）和黃后川和陳浪南（2003）等學(xué)者針對中國股市長記憶性檢驗(yàn)的研究發(fā)現(xiàn)，股指價(jià)格序列的長記憶性比波動率的長記憶性更顯著，因此也更適合作為LSTM 模型的訓(xùn)練樣本。 此外股指價(jià)格序列頻率更高，數(shù)據(jù)樣本更大，信息損失更少，更有利于LSTM 模型的特征提取。

本文的創(chuàng)新之處在于：第一，首次使用深度學(xué)習(xí)的LSTM 模型，以長記憶性的股指價(jià)格序列為切入點(diǎn)，計(jì)算股指波動率的預(yù)測值，對比發(fā)現(xiàn)，該方法的預(yù)測精度比對波動率序列建模的LSTM 以及ARFIMA 等模型精度更高，為深度學(xué)習(xí)在波動率的預(yù)測上提供了新思路；第二，首次將深度學(xué)習(xí)方法預(yù)測的波動率應(yīng)用于趨勢擇時(shí)策略，與傳統(tǒng)趨勢擇時(shí)方法相比，通過波動率設(shè)定的動態(tài)閾值能夠顯著控制投資的回撤風(fēng)險(xiǎn)。

二、基于長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動率預(yù)測模型

（一）長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）是目前應(yīng)用于時(shí)間序列預(yù)測最為廣泛的深度學(xué)習(xí)方法。 由于前向BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等神經(jīng)元信號只能單向流動，當(dāng)被處理數(shù)據(jù)為時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)，其損失重要時(shí)間序列信息的缺點(diǎn)就顯現(xiàn)出來了。 所以RNN 網(wǎng)絡(luò)在各個隱藏單元之間引入了權(quán)連接，使得該時(shí)點(diǎn)隱藏層能夠接收上一時(shí)刻隱藏層的輸出，即實(shí)現(xiàn)了動態(tài)時(shí)序行為在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各單元內(nèi)部狀態(tài)的轉(zhuǎn)換。

由于傳統(tǒng)RNN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱藏層權(quán)重大小會對網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)訓(xùn)練產(chǎn)生至關(guān)重要的影響，如果權(quán)重過小會導(dǎo)致“梯度消失”；如果權(quán)重過大則會導(dǎo)致“梯度爆炸”，以至于無法收斂，即標(biāo)準(zhǔn)的RNN 結(jié)構(gòu)難以傳遞相隔較遠(yuǎn)的信息，因此對于長期依賴問題，RNN 網(wǎng)絡(luò)明顯并不適用。 為了處理存在長期依賴問題的數(shù)據(jù)，本文引入了由Graves 改進(jìn)提出的長短期記憶（LSTM）模型。 LSTM 是一種特殊的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN），解決了傳統(tǒng)RNN 的長期依賴問題。該模型的具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 LSTM 模型結(jié)構(gòu)圖

LSTM 解決長期依賴問題的原因是它在RNN 的基礎(chǔ)上增加了一個判斷數(shù)據(jù)保留還是遺忘的結(jié)構(gòu)，這個結(jié)構(gòu)被稱為細(xì)胞。 細(xì)胞通過三扇類似于“門”的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的保留與遺忘，這三種“門”分別為輸入門、遺忘門和輸出門。所謂的“門”就是一個sigmoid 激活函數(shù)和一個元素級相乘的計(jì)算，sigmoid 層輸出0～1 的值，0 值表示不允許信息通過，1 值表示讓所有信息通過?！伴T”結(jié)構(gòu)可以使LSTM 網(wǎng)絡(luò)篩選出復(fù)雜時(shí)間序列中的有效信息并傳遞給下一時(shí)刻，同時(shí)通過遺忘門遺忘掉冗余的信息。

1.遺忘門

遺忘門的作用是讓網(wǎng)絡(luò)忘掉過去沒有用的信息。 它通過當(dāng)前的輸入xt 和上一時(shí)刻輸出ht-1 計(jì)算出一個維度為n 的向量，通過sigmoid 函數(shù)計(jì)算出一個取值范圍為（0，1）的向量ft。 在各個維度的數(shù)據(jù)中，ft 取值趨近于0 的會被遺忘，趨近于1 的會被保留。 遺忘門的計(jì)算公式為：

其中，Wf 是各個變量的權(quán)重，bf 是截距項(xiàng)，σ 是sigmoid 函數(shù)。

2.輸入門

輸入門的作用是為當(dāng)前輸入補(bǔ)充新的信息。 輸入門的計(jì)算分成三個步驟，首先輸入門sigmoid 函數(shù)根據(jù)當(dāng)前的輸入xt 和上一時(shí)刻輸出ht-1 計(jì)算保留的信息it；然后通過tanh 函數(shù)計(jì)算該時(shí)刻輸入值，并將輸入門it 和輸入值?C t 相乘，形成新的向量，加入細(xì)胞中；最后輸入門將舊的細(xì)胞狀態(tài)乘上遺忘門ft，遺忘部分舊的信息，加上新的輸入信息，形成新的細(xì)胞狀態(tài)。 輸入門的計(jì)算公式為：

其中，it 介于0～1，tanh 為正切激勵函數(shù)，Ct-1 表示（t-1）時(shí)刻的細(xì)胞狀態(tài)值，?C t表示從t 時(shí)刻輸入信息中提取出來的要記錄的信息，Ct 表示經(jīng)過更新的細(xì)胞狀態(tài)值。

3.輸出門

輸出門的作用是根據(jù)更新的細(xì)胞狀態(tài)Ct 形成當(dāng)前時(shí)刻的輸出。 輸出門和輸入門的計(jì)算方式相同，根據(jù)ht-1 和xt 由sigmoid 函數(shù)產(chǎn)生。輸出值使用tanh 函數(shù)處理Ct，最后ot 和tanh （Ct）相乘得到t 時(shí)刻的輸出結(jié)果。 輸出門的計(jì)算公式如下：

（二）波動率計(jì)算方法

Andersen and Bollerslev（1998）、Andersen and Meddahi（2005）的研究表明，基于日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動率可以有效降低波動率估計(jì)過程中的誤差和噪音。 因此本文選擇學(xué)術(shù)界目前普遍采用的方法，用已實(shí)現(xiàn)波動率作為真實(shí)波動率的代理變量。 根據(jù)Andersen and Bollerslev（1998）對真實(shí)波動率的定義，真實(shí)波動率可以表示為第t 天內(nèi)高頻收益率的平方和，具體計(jì)算過程如下：

第t 天的日收益率表示為：

第t 天5 分鐘高頻收益率表示為：

第t 天的已實(shí)現(xiàn)波動率表示為：

之后，Hansen and Lunde（2005）的研究又指出，由于股票市場不是24 小時(shí)連續(xù)交易，因此真實(shí)波動率沒有反映出非交易時(shí)間段的信息，所以本文參照兩位學(xué)者的方法，采用某種尺度參數(shù)λ0（scale parameter）對已實(shí)現(xiàn)波動率進(jìn)行調(diào)整，確定最終的波動率計(jì)算方式為：

其中，尺度參數(shù)λ0 的計(jì)算方式為：

三、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)的選取及分析

借鑒唐勇（2012）等學(xué)者的研究，5 分鐘高頻數(shù)據(jù)可以很好地對波動率進(jìn)行估計(jì)，故本文選取2016年1月5日至2018年11月30日的滬深300 指數(shù)收盤價(jià)的5 分鐘高頻數(shù)據(jù)，共709 個交易日，每個交易日可產(chǎn)生高頻收盤價(jià)48 個，樣本總量為34032個。 數(shù)據(jù)來源于Wind 數(shù)據(jù)庫。 收盤價(jià)格序列記為Pt，d，t=1，2，3，…，709，d=0，1，2，…，48。Pt，0 表示第t日滬深300 開盤價(jià)，其余Pt，d 表示第t日的第d 個5 分鐘收盤價(jià)。

滬深300 指數(shù)5 分鐘高頻收盤價(jià)格序列如圖2所示。從圖2中可以看出價(jià)格序列是非平穩(wěn)時(shí)間序列，不能采用Garch 族、HAR 族等傳統(tǒng)波動率模型。 進(jìn)一步對價(jià)格序列和真實(shí)波動率序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性檢驗(yàn)，結(jié)果如表1所示。由表1可以看出，收盤價(jià)序列不服從正態(tài)分布，表現(xiàn)出顯著的“有偏”和“尖峰”，ADF 檢驗(yàn)結(jié)果（-1.29＞-3.43）表明存在單位根，是一個非平穩(wěn)時(shí)間序列。 進(jìn)一步利用R/S 分析方法對價(jià)格序列和波動率序列進(jìn)行長記憶性檢驗(yàn)，價(jià)格數(shù)列的Hurst 指數(shù)為0.99，波動率序列的Hurst 指數(shù)為0.88，均大于0.5 小于1，具有長記憶性，但是價(jià)格序列的Hurst 指數(shù)更高，長記憶性更顯著。

表1 價(jià)格序列和真實(shí)波動率序列的統(tǒng)計(jì)性檢驗(yàn)

注：峰態(tài)為超額峰態(tài)。

圖2 滬深300 收盤價(jià)格序列

（二）LSTM 模型構(gòu)建

在獲取上述價(jià)格時(shí)間序列的基礎(chǔ)上，本文將使用多層LSTM 網(wǎng)絡(luò)對收盤價(jià)格進(jìn)行預(yù)測，選取前80%的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后20%的數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證集進(jìn)行交叉檢驗(yàn)，以t 時(shí)刻的高頻收盤價(jià)作為訓(xùn)練的輸入t+Timetep 時(shí)刻的高頻收盤價(jià)作為標(biāo)簽。 LSTM網(wǎng)絡(luò)基于Google 公司開發(fā)的Tensorflow 平臺搭建。 優(yōu)化算法使用Diederik and Jimmy 在2014年提出的Adam 優(yōu)化算法，該算法能夠自動調(diào)整學(xué)習(xí)率，是目前優(yōu)化性能最優(yōu)秀的機(jī)器學(xué)習(xí)算法之一。損失函數(shù)采用TensorFlow 自帶的tf.reduce_mean 函數(shù)計(jì)算損失平均值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的設(shè)定對于模型的預(yù)測能力至關(guān)重要，但目前學(xué)術(shù)界并沒有一致認(rèn)可的參數(shù)選擇方法，多以試驗(yàn)法為主。 LSTM 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言，訓(xùn)練速度慢且參數(shù)眾多，僅使用試驗(yàn)法難以確定眾多參數(shù)，故本文在試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合已有學(xué)者的研究成果，按照如下方法選擇參數(shù)，以消除神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對實(shí)證結(jié)果的影響。

1.時(shí)間步（timestep）

時(shí)間步即用過去多長的數(shù)據(jù)對下一時(shí)刻進(jìn)行預(yù)測。 陳衛(wèi)華（2018）對LSTM 時(shí)間步的敏感性分析表明，LSTM 的預(yù)測效果受時(shí)間步的影響較小?？紤]到每天可產(chǎn)生48個高頻價(jià)格，所以本文的timestep 確定為48。

2.隱藏層數(shù)（hiddenlayer）

隱藏層數(shù)過低會降低模型的預(yù)測能力，過高則會增加訓(xùn)練難度，甚至造成“過擬合”問題。根據(jù)Karpathy（2005）的研究，一般的LSTM 模型將隱藏層設(shè)定為3 層即可。因此本文最終的LSTM 網(wǎng)絡(luò)由輸入層、三層LSTM 層、輸出層組成，其中，輸入、輸出層均采取全連接的方式。

3.隱層神經(jīng)元個數(shù)（hiddensize）

即每層LSTM 神經(jīng)元的個數(shù)，本文在傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)驗(yàn)公式m=+a（m是隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)，n 是輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)，l 為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)，a 是1～10 的常數(shù)） 的基礎(chǔ)上，將隱藏層神經(jīng)元個數(shù)從5 到40 每隔5 進(jìn)行試驗(yàn)，得到損失函數(shù)與隱層神經(jīng)元關(guān)系如圖3所示，當(dāng)隱藏層神經(jīng)元個數(shù)為20 時(shí)，損失函數(shù)最小，因此將LSTM 網(wǎng)絡(luò)的隱層神經(jīng)元設(shè)定為20。

圖3 隱層神經(jīng)元個數(shù)與損失函數(shù)關(guān)系

4.訓(xùn)練批次（batch）

batch 是一次傳遞給網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)批次，batch 過小會使訓(xùn)練十分緩慢，難以收斂；batch 過大會降低模型準(zhǔn)確度。 batch 的大小一般在16～128，將訓(xùn)練批次大小依次設(shè)定為8，16，24，32，64，128，得到訓(xùn)練批次與損失函數(shù)的關(guān)系如圖4所示。當(dāng)訓(xùn)練批次為128 時(shí)，損失函數(shù)最小，因此將LSTM 模型的訓(xùn)練批次設(shè)定為128。

圖4 訓(xùn)練批次與損失函數(shù)關(guān)系

5.學(xué)習(xí)率（learningrate）

學(xué)習(xí)率是LSTM 網(wǎng)絡(luò)最重要的參數(shù)之一。 學(xué)習(xí)率過小會使網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新較慢；學(xué)習(xí)率過高則會在梯度下降過程中跳過局部最優(yōu)點(diǎn)，影響預(yù)測精度。 本文在確定了最優(yōu)LSTM 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和訓(xùn)練批次的基礎(chǔ)上，將學(xué)習(xí)率依次設(shè)定為0.0006，0.001，0.003，0.006，0.009，0.03，得到學(xué)習(xí)率與損失函數(shù)關(guān)系如圖5所示。 根據(jù)圖像確定適合本模型的學(xué)習(xí)率為0.006。

圖5 學(xué)習(xí)率與損失函數(shù)關(guān)系

6.迭代次數(shù)（epoch）

一個epoch 周期表示完整地把所有數(shù)據(jù)遍歷一次。 較小的epoch 會使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)沒有足夠的時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)導(dǎo)致“欠擬合”；較大的epcoh 則會降低訓(xùn)練效率或?qū)е隆斑^擬合”問題。圖6為損失函數(shù)關(guān)于epoch 的變化曲線，從圖中可以觀察到，損失函數(shù)在epoch=900 之后不再具有下降趨勢，所以將最佳epoch 設(shè)定為900。

圖6 迭代次數(shù)與損失函數(shù)關(guān)系

7.正則化（regularization）

本文采用Srivastava et al.（2014） 提出的Dropout 方法解決過擬合問題，將Dropout 率設(shè)定為0.5。

圖7 真實(shí)波動率預(yù)測值比較

（三）波動率的計(jì)算

根據(jù)Hansen and Lunde（2005）的真實(shí)波動率計(jì)算公式：

計(jì)算出的真實(shí)波動率預(yù)測值與實(shí)際值的圖像如圖7所示。

（四）波動率預(yù)測結(jié)果及比較分析

從上面的實(shí)證結(jié)果我們可以看出，先通過LSTM 模型預(yù)測收盤價(jià)格進(jìn)而計(jì)算出的波動率較好地反映了波動率的真實(shí)值。 但僅通過LSTM 模型自身的損失函數(shù)不足以準(zhǔn)確衡量出波動率的預(yù)測效果。 鑒于此，本文參考魏宇等（2015）和陳衛(wèi)華（2018）的研究成果，選擇了目前高頻波動率預(yù)測效果優(yōu)異的ARFIMA 模型、直接對波動率建模的LSTM 模型和LSTM-ARFIMA 混合模型作為對比。 其中，ARFIMA 模型的p、d、q 參數(shù)使用前80%的訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，然后對其余20%的驗(yàn)證數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本外預(yù)測；直接對波動率建模的LSTM 模型記為LSTM（RV）模型，超參數(shù)設(shè)定方法同上節(jié)所述；LSTM-ARFIMA 混合模型先使用ARFIMA 模型對已實(shí)現(xiàn)波動率線性部分進(jìn)行擬合，提取殘差作為LSTM 模型的輸入，之后將殘差預(yù)測結(jié)果和ARFIMA 的線性預(yù)測結(jié)果相加得到最終波動率的預(yù)測值。

有了上述3 個對比模型之后，需要確定衡量預(yù)測偏差的損失函數(shù)。 但是目前學(xué)術(shù)界沒有公認(rèn)的衡量預(yù)測偏差最合理的損失函數(shù)，所以本文根據(jù)Hansen and Lunde（2005）的建議，盡可能多地選擇衡量偏差的損失函數(shù)，最終確定了均方誤差（L1）、均方根誤差（L2）、平均絕對誤差（L3）、經(jīng)異方差調(diào)整的均方誤差（L4）、平均絕對百分比誤差（L5）等7 種不同的損失函數(shù)，具體計(jì)算公式如下：

表2 預(yù)測性能比較

圖8 模型預(yù)測精度比較

表2是四種模型不同損失函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，從中可以看出基于收盤價(jià)格序列建模的LSTM（Price）模型在所有損失函數(shù)中都明顯優(yōu)于其他三個模型，在7 種損失函數(shù)中排名均為第一，對比基于已實(shí)現(xiàn)波動率建模的LSTM（Rv）模型，該模型充分利用了高頻價(jià)格序列的記憶性，特征提取能力更強(qiáng)，預(yù)測效果更穩(wěn)健，充分發(fā)揮了LSTM模型在長記憶時(shí)間序列預(yù)測上的能力。 四種模型的擬合情況如圖8所示。 基于已實(shí)現(xiàn)波動率建模的LSTM（Rv）模型預(yù)測性能最差，不及ARFIMA 及LSTM+ARFIMA 混合模型，主要原因在于將已實(shí)現(xiàn)波動率Rv 作為LSTM 網(wǎng)絡(luò)的輸入時(shí)，數(shù)據(jù)記憶性不強(qiáng)，難以對其進(jìn)行特征提取，且數(shù)據(jù)量較小，容易導(dǎo)致過擬合問題，影響樣本外的預(yù)測能力。

（五）基于已實(shí)現(xiàn)波動率的策略研究

目前，基于波動率的應(yīng)用研究大多集中于期貨市場，通過Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式反推出隱含波動率，通過隱含波動率的大小判斷期權(quán)是否被高估或低估，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)期權(quán)套利。 在應(yīng)用深度學(xué)習(xí)方法改進(jìn)已實(shí)現(xiàn)波動率預(yù)測精度的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將預(yù)測的未來已實(shí)現(xiàn)波動率應(yīng)用在滬深300 指數(shù)的趨勢擇時(shí)策略中，尋找買入與賣出的信號，研究已實(shí)現(xiàn)波動率在擇時(shí)策略中的適用性。

本文構(gòu)建的策略為單均線的趨勢擇時(shí)策略，窗口期為2018年7月1日至2019年2月28日，選擇這一時(shí)期的主要原因在于該段時(shí)期包含了滬深300 指數(shù)一個局部的下跌及上升周期，更能反映趨勢擇時(shí)策略在不同形勢下的收益表現(xiàn)。 指數(shù)復(fù)制方式為購買嘉實(shí)滬深300ETF 基金，追蹤誤差0.03%，申購費(fèi)率假定為0.15%，贖回會費(fèi)率假定為1.5%，收益率回測在優(yōu)礦量化投資平臺進(jìn)行。 具體策略規(guī)則如下：

規(guī)則1：選取滬深300 指數(shù)的5日均線MA（5）作為擇時(shí)基礎(chǔ)。

規(guī)則2：用隱含波動率計(jì)算的收益率標(biāo)準(zhǔn)差s 代替歷史收益率標(biāo)準(zhǔn)差作為閾值。計(jì)算公式參考John（1987）關(guān)于波動率與收益率標(biāo)準(zhǔn)差的公式：

其中，s 代表收益率的方差；Rv 代表預(yù)測的已實(shí)現(xiàn)波動率；μi 代表觀測期內(nèi)的收益率；n 代表觀測期，本文以每5 分鐘的高頻波動率推算收益率日標(biāo)準(zhǔn)差，故n 取48。

規(guī)則3：當(dāng)滬深300 價(jià)格突破5日均線即P＞（1+s）*MA（5）時(shí)買入；反之，跌破時(shí)平倉。

為了衡量該策略的收益，選擇簡單5日均線策略作為對照。 滬深300 指數(shù)、設(shè)置波動率閾值的5日均線和普通5日均線的走勢如圖9所示。

圖9為兩種均線擇時(shí)策略的走勢圖。 在2018年7月1日至2019年1月3日的下行周期里，兩種均線策略均觸發(fā)交易14 次，其中，基于波動率改進(jìn)的均線策略判斷正確率42.8%，一般5日均線策略判斷正確率21.4%，雖受大盤下行周期影響，兩組策略收益均為負(fù)，但波動率改進(jìn)的策略收益依舊高于一般均線策略，且最大回撤1.24%小于一般均線的3.1%。

圖9 滬深300 及均線走勢圖

在2019年1月3日至2019年2月28日的上行周期里，基于波動率改進(jìn)的均線策略觸發(fā)交易6 次，判斷正確率100%。 簡單5日均線策略觸發(fā)交易4 次，判斷正確率100%。 在上行周期中波動率改進(jìn)的均線策略收益率小于一般均線策略，但最大回撤依舊具有優(yōu)勢。 由此我們可以得出結(jié)論，基于預(yù)測已實(shí)現(xiàn)波動率改進(jìn)的均線策略雖在收益上不具有明顯優(yōu)勢，但得益于動態(tài)調(diào)整的閾值規(guī)則，無論在上行還是下行周期，風(fēng)險(xiǎn)控制能力更強(qiáng)，穩(wěn)健性更好，為趨勢投資的風(fēng)險(xiǎn)管理提供了新的思路。

表3 策略績效指標(biāo)

四、結(jié)論

本文提出的基于長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（LSTM）的股票市場波動率預(yù)測方法，將國內(nèi)高頻股票市場指數(shù)收盤價(jià)作為輸入值，通過多層LSTM 網(wǎng)絡(luò)對其進(jìn)行非線性預(yù)測，將其預(yù)測結(jié)果作為計(jì)算波動率預(yù)測值的基礎(chǔ)，充分利用了收盤價(jià)格的時(shí)序性和強(qiáng)記憶性。

通過對滬深300 指數(shù)波動率的實(shí)證研究可知，相比于直接針對已實(shí)現(xiàn)波動率建模的長短期記憶模型和傳統(tǒng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，本文模型在價(jià)格序列具有高頻和長記憶性的特征下，通過LSTM 模型對價(jià)格序列進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)而計(jì)算出滬深300 指數(shù)的真實(shí)波動率，顯著降低了預(yù)測的誤差。 本文的實(shí)證結(jié)果還表明，基于深度學(xué)習(xí)模型的波動率預(yù)測方法，雖然具有其獨(dú)特的優(yōu)勢，但也并不一定總是優(yōu)于ARFIMA 等計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，深度學(xué)習(xí)模型的預(yù)測效果也會受到數(shù)據(jù)頻率、數(shù)據(jù)特征等多方面的影響，其自身也面臨“欠擬合”、“過擬合”等諸多問題。 針對復(fù)雜的金融市場預(yù)測問題，需要具體結(jié)合數(shù)據(jù)的特征，考慮模型的適用性。 策略研究的分析表明，基于深度學(xué)習(xí)預(yù)測波動率的趨勢擇時(shí)策略能夠很好地控制收益率回撤風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)一步證明了深度學(xué)習(xí)在金融預(yù)測領(lǐng)域的適用性。

本文的研究為深度學(xué)習(xí)在波動率預(yù)測問題上提供了一種新的思路，輸入數(shù)據(jù)的長記憶特征對LSTM 的預(yù)測能力至關(guān)重要。 雖然深度學(xué)習(xí)的方法改變了傳統(tǒng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的范式，弱化了解釋變量的顯著性，但未來仍需要進(jìn)一步研究深度學(xué)習(xí)對于金融理論的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，尋找深度學(xué)習(xí)與金融理論結(jié)合的一般框架。